Markus Eichenlaub wuchs in der Pfalz auf, wo er als Schüler bereits die C-Ausbildung in Speyer absolvierte, und begann nach dem Abitur das Studium der Kirchenmusik in Rottenburg und Karlsruhe. Noch während des Studiums war er als nebenamtlicher Organist in Landau tätig und leitete mehrere Chöre. Nach dem A-Examen in Katholischer Kirchenmusik wirkte er als musikalischer Assistent am Villinger Münster, vervollkommnete danach seine Orgelausbildung in Hamburg bei Pieter van Dijk (Schwerpunkt Alte Musik) und in Stuttgart bei Jon Laukvik (Solistenexamen).
Von 2000 bis 2010 lehrte er als Professor für Orgelliteratur und Liturgisches Orgelspiel an der Folkwang Universität der Künste in Essen und war zeitgleich Domorganist in Limburg. Seit 2010 ist er Domorganist am Kaiser- und Mariendom zu Speyer, wo er in den ersten acht Jahren seiner Amtszeit auch das Amt des Diözesankirchenmusikdirektors bekleidete.
Seit dem 1. Juni 2026 ist Markus Eichenlaub Bezirkskantor der Erzdiözese Freiburg an der Jesuitenkirche Heidelberg.